일차함수와 이차함수: y = 2x와 y = x²를 비교해 봅시다

y = 2x와 y = x²는 x의 값에 따라 y의 값이 정해지는 두 함수입니다. x에 같은 수를 넣어 보고, 나온 값을 좌표평면의 점으로 나타내면 두 그래프가 어떻게 다른지 확인할 수 있습니다.

함수식에 x를 넣어 y를 구합니다

y = 2x는 x에 2를 곱해 y를 구하는 식입니다. x가 3이면 y는 2 × 3 = 6입니다.

y = x²는 x를 제곱해 y를 구하는 식입니다. x가 3이면 y는 3 × 3 = 9입니다. 여기서 x²는 x에 2를 곱하는 2x와 다릅니다.

두 함수에 여러 값을 넣어 보겠습니다.

x	y = 2x의 y	y = x²의 y
−2	−4	4
−1	−2	1
0	0	0
1	2	1
2	4	4

x의 값을 하나 정하면 각 함수에서 y의 값도 하나로 정해집니다. y의 값이 서로 같은 x가 있더라도 두 함수가 같은 식이라는 뜻은 아닙니다. 예를 들어 x가 2일 때는 둘 다 y가 4이지만, x가 1일 때는 y가 각각 2와 1입니다.

음수를 제곱할 때는 괄호를 씁니다

y = x²에 x = −2를 넣으면 다음과 같습니다.

y = (−2)² = (−2) × (−2) = 4

이것을 −2²라고 적으면 뜻이 달라집니다. 괄호 없는 −2²는 2를 먼저 제곱한 뒤 마이너스를 붙이므로 −(2²) = −4입니다. x 자리에 음수를 넣을 때는 그 수 전체를 괄호로 묶어 적습니다.

계산한 값을 좌표로 나타냅니다

x가 1이고 y가 2이면 좌표는 **(1, 2)**입니다. 가로축의 x값과 세로축의 y값 순서로 씁니다.

• y = 2x에서 x = 1이면 점 (1, 2)를 표시합니다.
• y = x²에서 x = 1이면 점 (1, 1)을 표시합니다.

표에 있는 다른 값도 같은 방법으로 표시할 수 있습니다. 그래프는 표의 다섯 점만을 뜻하지 않습니다. x에 −0.5나 1.5처럼 표에 없는 수를 넣었을 때의 점들도 포함합니다.

y = 2x는 직선입니다

이 함수에서는 x가 1만큼 늘 때 y가 항상 2만큼 늘어납니다. x가 −1에서 0으로 늘면 y는 −2에서 0으로, x가 0에서 1로 늘면 y는 0에서 2로 늘어납니다.

이렇게 일정한 비율로 변하므로 그래프는 직선이고, x = 0일 때 y = 0이므로 원점 (0, 0)을 지납니다. x의 증가량에 대한 y의 증가량인 기울기는 2입니다.

y = x²는 포물선입니다

x가 0, 1, 2로 늘면 y는 0, 1, 4가 됩니다. y의 증가량이 1, 3으로 달라져 앞의 직선처럼 일정하지 않습니다. 실제 그래프는 점들을 따라 휘어지는 포물선입니다. 표에 나온 몇 점을 직선 조각으로 이은 꺾은선과는 다릅니다.

x = −2와 x = 2에서 y는 모두 4이고, x = −1과 x = 1에서 y는 모두 1입니다. 반대 부호의 두 수를 제곱하면 값이 같으므로 그래프는 y축을 기준으로 좌우 대칭입니다.

실수 x를 제곱한 값은 0 이상이며 x = 0일 때 0입니다. 따라서 이 그래프에서 가장 낮은 점은 원점 (0, 0)입니다.

짙은 선은 y = 2x, 파란 선은 y = x²입니다.

짧은 연습

1. x = −3일 때 y = 2x와 y = x²의 y값을 각각 구하세요.
2. 점 (3, 6)은 두 함수 중 어느 그래프 위에 있나요?
3. y = 2x에서 x가 2에서 3으로 늘면 y는 얼마나 늘어나나요? y = x²에서도 구해 보세요.

정답과 확인

1. y = 2x에서는 2 × (−3) = −6, y = x²에서는 (−3)² = 9입니다.
2. y = 2x의 그래프 위에 있습니다. x = 3을 넣으면 y = 6입니다. y = x²에 넣으면 y = 9이므로 (3, 6)은 이 그래프 위에 있지 않습니다.
3. y = 2x에서는 y가 4에서 6으로 2 늘어납니다. y = x²에서는 y가 4에서 9로 5 늘어납니다.